- La prima conseguenza diretta degli assiomi 1 e 2 è che:
0 £ p(A) £ 1.
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Infatti se A è un sottoinsieme proprio dell'universo, varrà: p(A) < p(U).
Dunque la probabilità è un numero reale appartenente all'intervallo [0,1] dove, in pratica, 1 rappresenta la certezza di ottenere l'evento A e 0 quella di non ottenerlo.
Altre importanti conseguenze dei tre assiomi sono espresse dai seguenti teoremi:
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cioè la probabilità di non ottenere l'evento A è uguale ad uno meno la probabilità di ottenerlo.
Infatti dall'assioma 3: p((non (A) È A) = p(non (A) + p(A)
e dall'assioma 2: p((non(A) È A) =1
Esempio: un'urna contiene 5 palline nere, 15 bianche, 10 rosse. La probabilità di non pescarne una rossa è:
p(non rossa) = 1- p(rossa) = 1 - 1/3 = 2/3
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Infatti A = BÈ(A Ç (non B)) e, dall'assioma 3:
p(A) = p(BÈ(A Ç (non B)) = p(B) + p(A Ç (non B))
Esempio: se sappiamo che su 800 pesci in una vasca 400 sono trote, di cui solo 100 sono trote salmonate, la probabilità di pescare a caso una trota non salmonata è 400/800 - 100/800.
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Attraverso questo teorema calcoliamo la probabilità di più eventi, sia che essi accadano insieme oppure in alternativa l'uno all'altro. Consideriamo due eventi: se essi sono mutuamente escludentisi allora la probabilità che accada o uno o l'altro è data dall'assioma 3, mentre se l'accadere di uno non preclude la possibilità che si presenti anche il secondo allora bisogna ragionare in un altro modo:
nel caso che due eventi non siano mutuamente escludentisi infatti, se i due insiemi rappresentano rispettivamente la probabilità di successo dell'evento A e dell'evento B allora la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è uguale alla somma delle aree dei due insiemi (verde+giallo+blu nel diagramma di Venn). Però nel momento in cui si considera l'unione dei due insiemi bisogna togliere la quantità relativa alla loro intersezione in quanto viene considerata due volte: una volta per ciascun insieme.
Il teorema dell'addizione delle probabilità è facilmente estendibile a più di due eventi, sempre operando le stesse considerazioni che abbiamo fatto per i due eventi A e B.
Per esempio, se l'evento A rappresenta l'estrazione di una carta di denari da un mazzo di carte napoletane, e l'evento B rappresenta l'estrazione di una figura, allora per la probabilità di estrarre una figura o una carta di denari varrà:
p(figura o denari) = p(figura) + p(denari) - p(figura di denari) = 12/40 + 10/40 - 3/40 = 19/40.
Se invece vogliamo calcolare la probabilità di ottenere un asso o una figura, essendo tali eventi incompatibili si potrà applicare l'assioma 3:
p(asso o figura) = p(asso) + p(figura) = 4/40 + 12/40 = 16/40
La definizione assiomatica