Iniziamo con l'elencare alcune definizioni utili, in gran parte già note, per affrontare lo studio del calcolo delle probabilità.
GLI EVENTI
Nel calcolo delle probabilità con la parola evento elementare si intende ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere oppure no. Qualche esempio:
Per universo U si intende un insieme che comprende tutti possibili casi definiti in relazione a una determinata situazione.
Per spazio degli eventi W si intende l'insieme delle parti di U (compreso l'insieme vuoto e U stesso).
Per evento si intende un elemento di W , cioè un sottoinsieme di U.
Ad esempio lo spazio degli eventi nel lancio di tre monete è costituito dai seguenti casi:
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC.
Ad ogni evento è associato un numero reale che è tanto maggiore quanto più è elevata la possibilità che si verifichi l'evento stesso: chiamiamo tale numero probabilità dell'evento.
Definiamo evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi. Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità.
L'evento contrario all'evento certo è detto impossibile, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a zero.
EVENTI MUTUAMENTE ESCLUDENTISI
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Si dicono eventi mutuamente escludentisi o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova. Nel linguaggio degli insiemi varrà, per gli eventi A e B mutuamente escludentisi: Ad esempio l'apparizione simultanea dell'uno e del sei nel lancio di un dado. |
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Si dice che eventi casuali formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve definitivamente accadere. Ad esempio le apparizioni di un numero pari, numero dispari, numero maggiore di 3, 1 nel lanciare un dado formano un gruppo completo di eventi. |
SISTEMA COMPLETO DI ALTERNATIVE
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Si dicono eventi contrari due o più eventi che formano un gruppo completo e sono mutuamente escludentisi a due a due. In tal caso si dice anche che formano un sistema completo di alternative, cioè corrispondono ad una partizione dell'insieme universo Ad esempio i due eventi - passare l'esame, essere bocciati - costituiscono una coppia di eventi contrari. Anche le apparizioni dei punteggi 1, 2, 3, 4, 5, 6 nel lanciare un dado sono eventi contrari. |
EVENTI EQUIPROBABILI
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Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dell'esperimento permette di supporre che nessuno di essi sia più probabile di un altro. Ad esempio l'apparizione di una delle sei facce di un dado nel caso in cui questo sia regolare (non truccato). |
SOMMA DEGLI EVENTI
Si definisce somma di due eventi A e B l'evento C che consiste nel verificarsi dell'evento A o dell'evento B o di entrambi. La probabilità dell'evento C si scrive nel seguente modo:
P(C) = P(A
B) = P(A o B)
Vedremo a questo proposito il teorema di addizione delle probabilità
In generale definiamo la somma di un numero qualsiasi di eventi l'evento che consiste nel verificarsi di almeno uno di questi.
PRODOTTO DEGLI EVENTI
Si chiama prodotto di due eventi A e B l'evento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B. La probabilità dell'evento C si indica nel seguente modo:
P(C) = P(A
B) = P(A e B)
Vedremo a questo proposito il teorema di moltiplicazione delle probabilità.
In generale definiamo il prodotto di un numero qualsiasi di eventi l'evento che consiste nel verificarsi di tutti questi eventi.
PROBABILITA` CONDIZIONATA
La probabilità che accada l'evento A, calcolata a condizione di sapere che l'evento B si è verificato, si dice probabilità di A condizionata a B e si denota con:
P(A|B)
EVENTI DIPENDENTI ED INDIPENDENTI
Si dice che l'evento A è dipendente dall'evento B se la probabilità dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o meno.
Ad esempio se consideriamo l'estrazione successiva di due carte da un mazzo senza rimettere nel mazzo la prima estratta, l'evento asso come seconda carta dipende dall'evento asso come prima estratta
Diremo invece che l'evento A è indipendente dall'evento B se la probabilità del verificarsi dell'evento A non dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o no:
p(A|B) = p(A|nonB) = p(A)
Per esempio, considerando due urne contenenti entrambe palline bianche e nere, la probabilità di estrarre una pallina nera da un'urna non dipende dall'estrazione di una pallina bianca dall'altra urna.
Notiamo che l'indipendenza di due eventi è simmetrica, cioè:
p(A|B) = p(A) Þ p(B|A) = p(B)
Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che posso assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si distinguono in variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue. Le variabili discrete possono assumere solo un insieme di valori numerabile, mentre i valori possibili di quelle continue non possono essere enumerati in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo.
Definizioni di probabilità