Consideriamo il seguente problema: sia un gruppo di n eventi, H1, H2, … , Hn, che formano un gruppo completo di eventi. In figura è mostrato il caso n=7.
PROBABILITA' TOTALE
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Consideriamo il seguente problema: sia un gruppo di n eventi, H1, H2, … , Hn, che formano un gruppo completo di eventi. In figura è mostrato il caso n=7. |
Siano inoltre note le probabilità dei singoli eventi e valgano rispettivamente P(H1), P(H2), ...,P(Hn).
Si esegue un esperimento durante il quale si può verificare un certo evento A. Vogliamo esprimere la probabilità di A mediante la probabilità degli eventi Hi. Dal diagramma di Venn si vede che il sottoinsieme A è l'unione delle intersezioni di A con gli Hi, che sono incompatibili tra loro. Dunque avremo:
p(A)=p (AÇ H1)+ p(AÇ H2)+ ...+p(AÇ Hn)
Infine, applicando il teorema della moltiplicazione, troviamo la formula della probabilità totale:
Un gioco: la superlotteria delle tre urne:
U1 contiene 12 palline rosse e 8 palline verdi;
U2 contiene 10 palline rosse e 15 palline verdi;
U3 contiene 9 palline rosse e 6 palline verdi;
Si tira un dado e se viene un numero non superiore a 3 si estrae una pallina dalla prima urna; se viene un numero superiore a 4 si estrae una pallina dalla seconda urna; se viene il numero 4 si estrae una pallina dalla terza urna.
Qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa?
Per questo gioco possiamo applicare la formula della probabilità totale, perché gli eventi
H1: si sceglie l'urna U1 (con p(H1)=3/6)
H2: si sceglie l'urna U2 (con p(H2)=2/6)
H3: si sceglie l'urna U3 (con p(H3)=1/6)
costituiscono un gruppo completo. Così avremo:
p(A)=p(H1)p(A|H1)+ p(H2)p(A|H2)+p(H3)p(A|H3)=(3/6)(12/20)+(2/6)(10/25)+(1/6)(9/15)=8/15
