TEOREMA DI BAYES
Dal teorema della moltiplicazione possiamo ricavare la seguente relazione:
Da questa, insieme alla relazione espressa dalla formula della probabilità totale, ricaviamo il teorema di Bayes:
Cioè, se un evento A può verificarsi in seguito a più cause, che si escludono a vicenda, dalla conoscenza della probabilità delle cause, essendosi verificato l'evento A, possiamo ricavare la probabilità che esso sia dovuto a una determinata causa.
In particolare la probabilità a posteriori della causa Hi, dopo che l'evento A si è verificato, è proporzionale alla corrispondente probabilità a priori, corretta con il fattore p(A|Hi). Il denominatore della frazione può essere interpretato come un fattore di normalizzazione.
Nel gioco delle tre urne è uscita una pallina rossa. Qual è la probabilità che essa provenga dalla prima urna?
Applicando il teorema di Bayes otteniamo:
Due tiratori sparano un colpo ciascuno sul medesimo bersaglio.
La probabilità che il primo tiratore colpisca il bersaglio è 0.8 (80%), mentre quella del secondo tiratore è 0.4 (40%). Il bersaglio viene colpito una sola volta.
Qual è la probabilità che il bersaglio sia stato colpito dal primo tiratore?
Prima di sparare i colpi sono possibili le seguenti ipotesi:
Le probabilità di queste ipotesi valgono:
Le probabilità condizionate del verificarsi dell'evento A (bersaglio colpito una sola volta) per queste ipotesi sono uguali a:
Dopo la prova le ipotesi H1 e H2 diventano impossibili, e le probabilità delle ipotesi H3 e H4 per la formula di Bayes sono:
Di conseguenza la probabilità che il bersaglio sia stato colpito dal primo tiratore e pari a 6/7.
Due stazioni di osservazione forniscono dei dati su un certo oggetto che può trovarsi in due stati M e N, passando in modo aleatorio dall'uno all'altro.
Lunghe osservazioni hanno permesso di stabilire che durante circa il 30% del tempo l'oggetto si trova nello stato M e per il restante 70% nello stato N.
La stazione numero 1 fornisce dei dati erronei per circa il 2% dei casi totali, mentre la stazione numero 2 per l'8%. Ad un certo punto la stazione n.1 comunica che l'oggetto si trova nello stato M e la stazione n.2 contemporaneamente lo avvista nello stato N.
Ci si domanda quale delle due comunicazioni deve essere supposta corretta.
E` naturale supporre vera la comunicazione la cui probabilità di errore è minore: vediamo cosa accade applicando la formula di Bayes. A tale scopo impostiamo le ipotesi riguardanti lo stato dell'oggetto:
In questo caso l'evento osservato A corrisponde al fatto seguente: la stazione n.1 ha trasmesso che l'oggetto si trova nello stato M e la stazione n.2 che esso si trova nello stato N. Le probabilità delle ipotesi prima dell'avvistamento sono:
Calcoliamo le probabilità condizionate dell'evento osservato Aper queste ipotesi.
Affinchè l'evento A abbia luogo per l'ipotesi H1 è necessario che la comunicazione trasmessa dalla prima stazione sia vera e quella proveniente dalla seconda sia errata, cioè:
p(A|H1) = (0.98) (0.08) = 0.0784
Analogamente
P(A|H2) = (0.92) (0.02) = 0.0184
Applicando la formula di Bayes, troviamo la probabilità che lo stato reale dell'oggetto sia M:
Cioè che la comunicazione della prima stazione fosse quella corretta.
