LEGGE EMPIRICA DEL CASO

Esistono alcune delicate questioni riguardo alla definizione di probabilità empirica.

La probabilità così definita non è una proprietà solo dell'esperimento, ma è anche funzione del particolare gruppo su cui viene calcolata. Ad esempio la probabilità di sopravvivenza ad una certa età, calcolata su diversi gruppi di popolazione a cui una stessa persona appartiene (maschi, femmine, fumatori, non fumatori, deltaplanisti, ecc.), risulta diversa.

La probabilità empirica si può rigorosamente applicare soltanto agli esperimenti ripetibili, per i quali la possibilità di aumentare il numero di prove a piacere ha significato. Si deduce quindi che molte situazioni della vita quotidiana, non sono soggette all'uso di questa definizione di probabilità: rappresentano esempi di questo tipo il risultato di una partita di calcio, quello di una roulette russa o il tempo atmosferico di domani.

Inoltre, per venire incontro ad una necessità di operatività, ci si può "accontentare" di definire la probabilità come

il valore della frequenza relativa di successo su un campione (numero di prove) non necessariamente tendente all'infinito, ma giudicato sufficientemente grande.

Chiariamo ulteriormente la relazione tra probabilità a priori e frequenza, limitandoci ovviamente ai casi in cui si tratta di esperimenti ripetibili e di eventi per i quali si può calcolare la probabilità a priori. In questi casi si rileva sperimentalmente che la frequenza relativa, che dapprima fluttua, all'aumentare della dimensione del campione tende a stabilizzarsi intorno al valore della probabilità a priori. Questo fatto, che può essere spiegato con gli strumenti della statistica, può essere assunto per il momento come una legge empirica, che dà una giustificazione intuitiva della definizione frequentista della probabilità anche per i casi in cui non si potrebbe applicare la definizione a priori.

A tale riguardo possiamo fare il seguente esperimento: tiriamo più volte un dado, registrando il numero di volte che esce ogni risultato. Le frequenze di ogni numero uscito possono essere rappresentate su un istogramma. È chiaro che al primo tiro la frequenza del numero uscito è del 100%, mentre le frequenze di tutti gli altri numeri sono dello 0%. Abbiamo così il massimo scostamento delle frequenze sperimentali dalle probabilità a priori, che sono di 1/6 per ogni numero. Continuando a tirare il dado osserviamo che le frequenze di ogni numero fluttuano intorno al valore dato dalla probabilità a priori. Tuttavia man mano che cresce il numero dei lanci, l'ampiezza delle fluttuazioni diminuisce e le frequenze vanno assestandosi intorno ai valori della probabilità: 1/6 per ogni numero.

Qui sotto puoi provare a simulare l'esperimento. Il menu a tendina di destra ti permette di scegliere il numero di tiri da effettuare ogni volta prima di sommare i risultati a quelli precedenti: ci si rende conto meglio di quello che succede scegliendo un numero di tiri piccolo (prova 1 e poi 10). Il menu a tendina di sinistra ti permette di scegliere il numero di dadi da tirare insieme ogni volta. Per il momento puoi lasciarlo a uno; in seguito potrai tornare a questo esperimento per giocare con la distribuzione binomiale e il teorema del limite centrale.