Géométrie du plan : Frises et Pavages

I Frises
II Réseaux et pavages
III D'autres groupes de symétrie
- III-1 En spirale
- III-2 Plan hyperbolique
Index

La première partie de ce document est conçue comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises (ou ornement linéaires) et des pavages, ce que nous faisons ici.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan. Il doit beaucoup à des documents que m'a donnés Daniel Perrin lors de la préparation de ce cours.

Le plan affine est noté

P

.

I Frises

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III D'autres groupes de symétrie

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I-1 Ornement linéaire

Pour analyser une frise, il faut

déterminer la bande, c'est-à-dire la direction des translations et un motif de translation ;
trouver son groupe ponctuel, les directions des axes de réflexion, l'ordre des rotations ;
placer les éléments de symétrie (centres de rotation, axes de réflexion, axes de réflexion glissée).
déterminer le groupe de ses isométries parmi une liste finie que nous allons donner.
déterminer un motif de base.

Faisons d'abord l'étude mathématique.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification

I-5 Nomenclature

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises

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Prenons une bande

B

, c'est-à-dire la zone du plan comprise entre deux droites parallèles et un dessin dans cette bande, c'est-à-dire un sous-ensemble de la bande ou un dessin coloré (un nombre fini de sous-ensembles disjoints de cette bande) contenu dans un parallélogramme et translatons-le dans la direction de la bande de manière à ce qu'il n'y ait pas de superposition, on obtient une frise.

Définition

Un ornement linéaire ou frise est un dessin

F

de

P

dont le groupe des translations

T (F)

de

Is (F)

est de la forme

{t_{n \overset{⇀}{u}}, n \in ℤ}

où

\overset{⇀}{u}

est un vecteur non nul.

Définition

Un motif de translation

M

est une partie fermée de

F

, connexe (c'est-à-dire d'un seul morceau) telle que les translatés de

M

par les translations de

Is (F)

recouvrent

F

:

\cup_{t \in T (F)} M = F

et telle que l'intersection de deux tels translatés soit contenue dans leur frontière. Un motif de base

M

est une partie fermée de

F

, connexe, telle que les images de

M

par les isométries de

Is (F)

recouvrent

F

:

\cup_{t \in Is (F)} M = F

et telle que l'intersection de deux tels transformés soit contenue dans leur frontière.

Par exemple, un parallélogramme de longueur (dans la direction de la bande) la norme de

\overset{⇀}{u}

est un motif de translation. Par contre, le motif de base dépend de la structure du groupe des isométries.

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-1 Ornement linéaire

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Définition

Un groupe de symétrie d'un ensemble

Is (F)

est discret s'il existe des réels strictement positifs

m_{1}

et

m_{2}

tel que

pour toute translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ non nul appartenant à $Is (F)$ , $∥ v ∥ > m_{1}$ ;
pour toute rotation d'angle appartenant à $Is (F)$ , $∣ \sin (θ) ∣ \geq m_{2}$ .

Proposition

Si

Is (F)

est discret et laisse fixe un point

A

, il est fini.

Proposition

Le groupe d'un ornement linéaire est discret.

Proposition

Soit

A

un point de

P

. Le groupe ponctuel

{Is}_{A} (F)

d'un ornement linéaire est fini.

Désormais,

F

est un ornement linéaire dont le groupe des translations

T (F)

de

Is (F)

est de la forme

ℤ \overset{⇀}{u} = {t_{n \overset{⇀}{u}}, n \in ℤ}

avec

\overset{⇀}{u}

un vecteur non nul. On fixe une origne

O

du plan.

Proposition

Soit

D_{O}

la droite vectorielle de direction

\overset{⇀}{u}

et

Δ_{O}

la perpendiculaire à

D_{O}

passant par

O

. Tout élément de

Is (F)

est de la forme

t \circ g

où

t

est une translation et

g \in {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}} .

Autrement dit, le groupe ponctuel

{Is}_{ponct} (F)

de

Is (F)

est contenu dans le groupe

V_{4} = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}

.
Démonstration

Soit

g \in Is (F)

et écrivons

g = t_{\overset{⇀}{w}} \circ g_{O}

avec

g_{O}

une isométrie fixant l'origne et

\overset{⇀}{w}

un vecteur.
L'isométrie

g t_{\overset{⇀}{u}} g^{- 1}

transformée de

t_{\overset{⇀}{u}}

par

g

est égale à

t_{g_{O} (\overset{⇀}{u})}

. Comme

t_{\overset{⇀}{u}}

appartient à

Is (F)

,

t_{g_{O} (\overset{⇀}{u})}

aussi ; donc

g_{O} (\overset{⇀}{u}) \in ℝ \overset{⇀}{u}

. Comme

g_{O} (\overset{⇀}{u})

et

\overset{⇀}{u}

ont même norme,

g_{O} (\overset{⇀}{u})

est

\overset{⇀}{u}

ou

- \overset{⇀}{u}

.
La droite vectorielle

D_{O}

de direction

\overset{⇀}{u}

est donc stable par

g_{O}

; il en est de même de sa perpendiculaire

Δ_{O}

(

g_{O}

conserve des angles). Donc,

g_{O}

peut être : l'identité, la symétrie centrale

s_{O}

par rapport à

O

, la réflexion axiale par rapport à

D_{O}

ou la réflexion axiale par rapport à

Δ_{O}

.

Les sous-groupes de

V_{4}

sont faciles à décrire. Il y en a cinq ;

${Is}_{ponct} (F) = {id}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{D_{O}}}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{Δ_{O}}}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}}$ ;
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}$ .

Exercice

Quel est le groupe ponctuel de chacune des frises suivantes :

Voir aussi Groupe ponctuel d'une frise

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

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Proposition

Il existe au moins une droite affine

D

parallèle à

\overset{⇀}{u}

invariante par

Is (F)

.

Démonstration

Les droites invariantes par le groupe des translations

T (F)

de

Is (F)

sont les droites de direction

D_{O}

. Nous allons donc chercher la droite

D

parmi ces droites. Elle doit être invariante par les isométries de

Is (F)

qui ne sont pas des translations.
Prenons une isométrie

g

de

Is (F)

qui n'est pas une translation. Elle s'écrit

g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ g_{O}

avec

g_{O} = s_{O}

,

s_{D_{O}}

,

s_{Δ_{O}}

avec

D_{O}

de direction

\overset{⇀}{u}

et

Δ_{O}

perpendiculaire à

D_{O}

. Faisons quelques remarques sur les isométries que l'on peut obtenir et les droites qu'elles laissent invariantes :

$g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{O}$ : $g$ est une symétrie centrale de centre un point $A$ ; toute droite passant par $A$ et de direction $D_{O}$ est invariante par $g$ ;
$g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{D_{O}} = t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D}$ avec $D$ droite de direction $D_{O}$ et $\overset{⇀}{w}$ parallèle à $D$ (réflexion ou symétrie glissée) ; on a alors $g^{2} = t_{2 \overset{⇀}{w}}$ . Donc $2 \overset{⇀}{w}$ est un multiple de $\overset{⇀}{u}$ . La droite $D$ est stable par $g$ .
$g = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{Δ_{O}} = t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{Δ}$ avec droite de direction $Δ_{O}$ et $\overset{⇀}{w}$ parallèle à ; on a alors $g^{2} = t_{2 \overset{⇀}{w}}$ . Donc $2 \overset{⇀}{w}$ appartient à $T (F)$ ; comme il est perpendiculaire à $\overset{⇀}{u}$ , il est nul. Autrement dit, $g$ est une réflexion d'axe perpendiculaire à $D_{O}$ . Toute droite de direction $D_{O}$ est stable par $g$ .

Reprenons maintenant les cinq cas de groupes ponctuels possibles.

${Is}_{ponct} (F) = {id}$ : toute droite de direction $D_{O}$ est invariante par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{Δ_{O}}}$ ; $Is (F)$ est engendré par $T$ et par $s_{Δ}$ pour une droite de direction $Δ_{0}$ ; toute droite de direction $D_{O}$ est invariante par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}}$ ; toute droite de direction $D_{O}$ est invariante par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{D_{O}}}$ ; il y a dans ${Is}_{ponct} (F)$ une réflexion ou une symétrie glissée d'axe une droite $D$ de direction $D_{O}$ . Cette droite est invariante par les translations de $Is (F)$ et par $s_{D}$ donc par $Is (F)$ .
${Is}_{ponct} (F) = {id, s_{O}, s_{D_{O}}, s_{Δ_{O}}}$ ; $Is (F)$ est engendré par $T$ et par $t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D}$ , $s_{Δ}$ et $s_{A}$ avec $\overset{⇀}{w}$ parallèle à $D_{O}$ , $D$ une droite de direction $D_{O}$ , perpendiculaire à $D$ et $A$ un point. Montrons que la droite $D$ est stable par $Is (F)$ : il reste à montrer que $D$ est stable par $s_{A}$ (pour les autres, on utilise les cas précédents). Pour cela, il suffit de montrer que $A$ appartient à $D$ . L'isométrie suivante appartient à $Is (F)$ :
$s_{A} \circ t_{\overset{⇀}{w}} \circ s_{D} = s_{A} \circ s_{D} \circ t_{\overset{⇀}{w}} = s_{Δ} \circ t_{\overset{⇀}{z}} \circ t_{\overset{⇀}{w}}$
avec $\overset{⇀}{z}$ parallèle à . Son carré est égal à $t_{2 \overset{⇀}{z}}$ et $2 \overset{⇀}{z} \in ℝ \overset{⇀}{u}$ . Donc $\overset{⇀}{z} = 0$ et $A \in D$ .

Géométrie du plan : Frises et Pavages → I Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

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Théorème

Il y a exactement 7 groupes de symétrie d'ornements à conjugaison près par une similitude.

On choisit une droite

D