Géométrie du plan

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Ce document est conçu comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises et des pavages, ce qui est abordé dans un autre document.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan.

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I De la géométrie aux groupes

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes

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I-1 Géométrie et géométrie

Nous allons commencer par parler de quelques groupes simples.

I-2 Groupes : Introduction

I-3 Rappels : Le plan complexe

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes

I-1 Géométrie et géométrie

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La géométrie des triangles, de droites, des figures : Les grecs calculent avec la géométrie (construire le nombre dont le carré est 5, trouver le pgcd de deux nombres).
Euclide : Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments soit égal au carré du segment restant.

Solution
Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
Voir la construction
On prend un segment $A B$ .
Descartes : Soit $A B$ l'unité et qu'il faille multiplier $B D$ par $B C$ , je n'ai qu'à joindre les points $A$ et $C$ , puis tirer $D E$ parallèle à $C A$ , et $B E$ est le produit de cette multiplication.
Ou s'il faut tirer la racine carrée de $G H$ , je lui ajoute en ligne droite $F G$ , qui est l'unité, et en divisant $F H$ en deux parties égales au point $K$ , du centre $K$ , je tire le cercle $F I H$ , puis élevant du point $G$ une ligne droite jusques à $I$ à angles droits sur $G H$ ; c'est $G I$ la racine cherchées

Solution
Construire la racine carrée d'un nombre représenté par un segment.

voir la construction

Voici le segment de longueur $x$ . Ou s'il faut tirer la racine carrée de $G H$ ,
La géométrie analytique ou cartésienne : on repère un point par ses coordonnées $(x, y)$ . Une droite a une équation $a x + b y + c = 0$ , on donne des expressions analytiques pour les transformations.
Exemple
Trouver anaytiquement le point d'intersection de la droite passant par $A (1, 2)$ et $B (0, 1)$ et de la droite d'équation $y = 2 x + 1$ .
La géométrie devient algèbre : on s'intéresse aux structures, aux transformations plutôt qu'aux objets et à leurs propriétés.
Ainsi les dessins sont les mêmes du point de vue de leur groupe de symétrie.

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I-2 Groupes : Introduction

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I De la géométrie aux groupes
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Index

I-2-1 Exemples de groupes

Donnons la définition générale d'un groupe :

I-2-2 Groupes : définition

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Un exemple important pour la géométrie (et pour la physique) sont les groupes de symétrie ou groupes d'isométries.

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

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I-2-1 Exemples de groupes

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Commençons par des exemples arithmétiques ou numériques : relatifs, réels ou rationnels :

I-2-1-1 Les nombres Soit

K = ℤ

l'ensemble des nombres relatifs ou

K = ℚ

l'ensemble des nombres rationnels ou

K = ℝ

l'ensemble des nombres réels. Pour tous éléments

x

y

z

K

$x + y \in K$ ;
$(x + y) + z = x + (y + z)$ ;
$0 + x = x + 0 = x$ ;
il existe un élément $x' \in K$ tel que $x + x' = x' + x = 0$ .

I-2-1-2 Les racines de l'unité Soit n un entier

\geq 1

. Soit

μ_{n}

l'ensemble des nombres complexes

z_{k} = e^{2 i k π / n} = \cos (2 k π / n) + i \sin (2 k π / n)

pour

k \in ℤ

. C'est aussi l'ensemble des nombres complexes

z

vérifiant

z^{n} = 1

. Il vérifie pour

z

dans

μ_{n}

k

j

entiers

$z^{k} \times z^{j} = z^{k + j}$ ;
$(z^{k} \times z^{j}) \times z^{r} = z^{k} \times (z^{j} \times z^{r})$ ;
$1 \times z^{k} = z^{k} \times 1 = z^{k}$ ;
$z^{- k} \times z^{k} = 1$ .

Autrement dit, pour tous éléments

z

z'

z ″

μ_{n}

$z \times z' \in μ_{n}$ ;
$(z \times z') \times z ″ = z \times (z' \times z ″)$ ;
$1 \times z = z$ ;
il existe un élément $t \in μ_{n}$ tel que $z \times t = t \times z = 1$ .

Exercice

Dessiner

μ_{4}

μ_{5}

μ_{6}

μ_{7}

... Pour

μ_{7}

, prendre

z_{2} = e^{4 i π / 7}

et repérer successivement les produits

z \times z_{2}

pour

z \in μ_{7}

z = z_{0}

z = z_{1}

z = z_{2}

, ...

n = 9

Exercice

Racines de l'unité et puissances
Sous-groupe de racines de l'unité
Sous-groupe de racines de l'unité II
Sous-groupe de racines de l'unité III

Des manipulations sur trois boules permettent aussi de trouver un groupe :

I-2-1-3 Permutations
(Lire la BD de Stewart : Ah les beaux groupes - les chroniques de Rose Polymath (Belin))
On a trois boules alignées. On peut ne pas changer leur ordre. C'est l'opération identité

S_{0}

. On peut changer leur ordre en échangant les deux premières (opération

S_{1}

), en faisant tourner les trois dernières (opération

S_{2}

) et en effectuant ces opérations successivement. Donner le résultat comme un tableau : si une opération nouvelle apparaît, lui donner un nom (

S_{3}

, ...) et la rajouter.

	$S_{0}$	$S_{1}$	$S_{2}$	$S_{3}$	$S_{4}$	$S_{5}$	$S_{6}$	...
$S_{0}$
$S_{1}$
$S_{2}$
$S_{3}$
$S_{4}$
$S_{5}$
$S_{6}$
...

On appelle ces opérations des permutations de l'ensemble des trois boules.
On note

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \end{matrix})

la permutation qui transforme 1, 2, 3 en

a

b

c

. Par exemple,

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})

est la permutation qui transforme 1, 2, 3 en 2, 3, 1.

Exercice

Permutations I
Permutations II
Permutations III

Enfin, voici un exemple de groupe formé d'applications.

I-2-1-4 Applications Soient les applications suivantes définies sur

ℂ - ℝ

$f_{1} : z \mapsto z$	$f_{4} : z \mapsto$	$f_{7} : z \mapsto$
$f_{2} : z \mapsto - 1 / z$	$f_{5} : z \mapsto$	$f_{8} : z \mapsto$
$f_{3} : z \mapsto - 1 / (z + 1)$	$f_{6} : z \mapsto$	$f_{9} : z \mapsto$

On peut composer ces applications ; donner le résultat comme un tableau : si une application nouvelle apparaît, lui donner un nom et la rajouter.

	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$	$f_{5}$	$f_{6}$	$f_{7}$
$f_{1}$
$f_{2}$
$f_{3}$
$f_{4}$
$f_{5}$
$f_{6}$
$f_{7}$

Pouvez-vous vous arrêter ?

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I-2-2 Groupes : définition

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Définition

On se donne

G

un ensemble et une application

G \times G

dans

G

qu'on va noter

*

( on parle de loi, d'opération):

(x, y) \mapsto x * y

vérifiant pour tous éléments

x

y

z

G

loi interne
$x * y \in G$
associativité
$(x * y) * z = x * (y * z)$ ;
élément neutre
il existe un élément $e$ tel que $e * z = z * e = z$ ;
inverse
il existe un élément $t \in G$ tel que $x * t = t * x = e$ .

L'ensemble

G

muni de la loi

*

est appelé un groupe.

Définition

Un groupe

G

est dit commutatif si pour tous éléments

x

y

G

x * y = y * x .

G

a un nombre fini d'éléments, on représente la loi sous la forme d'un tableau.

Exercice

Prenons

G = {pair, impair}

. Remplissez les deux tableaux selon les règles d'addition et de multiplication. Sont-ils la table d'un groupe ? Si oui, quel est l'élément neutre ?

+	pair	impair
pair
impair

	pair	impair
pair
impair

Exercice

Prenons

G = {1, - 1} \times {1, - 1}

G = {(1, 1), (1, - 1), (- 1, 1), (- 1, - 1)} .

On définit

(x, y) * (x', y') = (xx', yy')

. Compléter le tableau en appelant

x_{1} = (1, 1)

x_{2} = (1, - 1)

x_{3} = (- 1, 1)

x_{4} = (- 1, - 1)

	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{3}$
$x_{4}$

Est-il commutatif ?

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I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

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Une matrice carrée de taille

n

est un tableau à

n

lignes et

n

colonnes. Nous allons regarder le cas où

n = 2

. Une matrice carrée

A

de taille 2 s'écrit alors

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

où

a

b

c

d

sont les coefficients.
On définit des opérations sur l'ensemble

M_{2} (ℝ)

des matrices d'ordre 2 à coefficients réels :
Addition :

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) + (\begin{matrix} a' & b' \\ c' & d' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + a' & b + b' \\ c + c' & d + d' \end{matrix}) .

Exercice

Démontrer que

M_{2} (ℝ)

muni de cette opération est un groupe commutatif.

Multiplication :

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \times (\begin{matrix} a' & b' \\ c' & d' \end{matrix}) = (\begin{matrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{matrix}) .

Exercice

Effectuer le produit

(\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .

Exercice

Produit de matrices Inverse de matrices Équation de matrices

Exercice

Lesquelles des propriétés de groupe sont vérifiées pour l'opération multiplication ? Que faut-il rajouter comme condition pour avoir une opération de groupe ?

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I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

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Définition

On appelle isométrie une application du plan (ou de l'espace) conservant les distances :

∥ f (B) - f (A) ∥ = ∥ B - A ∥ .

pour tous points

A

B

On note

Is = Is (ℝ^{2})

l'ensemble des isométries du plan.
Quelques exemples dans le plan :

l'identité ;
les rotations ;
les réflexions par rapport à une droite ;
les symétries centrales par rapport à un point.

Nous verrons qu'il y en a d'autres (par exemple, les translations, les symétries glissées) et nous les trouverons toutes. Celles qu'on vient d'énumérer ont la propriété de laisser fixe un point du plan.

Exercice [Le rectangle]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un rectangle (quelconque, c'est-à-dire qui n'est pas un carré).

rectangle

Suite

Soit

G

le centre de gravité du rectangle, c'est-à-dire l'intersection des diagonales. On trouve

l'identité
les réflexions par rapport à chacune des médiatrices des côtés $D_{1}$ , $D_{2}$ ;

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

	$id$	$s_{G}$	$s_{D_{1}}$	$s_{D_{2}}$
$id$
$s_{G}$
$s_{D_{1}}$
$s_{D_{2}}$

Le groupe est-il commutatif ? Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets

A

B

C

D

	A	B	C	D
$id$
$s_{G}$
$s_{D_{1}}$
$s_{D_{2}}$

On a ainsi défini une application du groupe de symétrie du rectangle dans le groupe des permutations des quatre sommets

A

B

C

D

Exercice [Le triangle équilatéral]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un triangle équilatéral.

triangle equilateral

Suite

Soit

G

le centre de gravité du triangle. Il doit être fixe (pourquoi ?). On trouve

l'identité
les réflexions par rapport à chacune des médiatrices $Δ_{A B}$ , $Δ_{B C}$ , $Δ_{C A}$ ;
les rotations d'angle $2 π / 3$ , $4 π / 3$ , et de centre $G$ .

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

	$id$	$r_{2 π / 3}$	$r_{4 π / 3}$	$s_{Δ_{A B}}$	$s_{Δ_{B C}}$	$s_{Δ_{C A}}$
$id$
$r_{2 π / 3}$
$r_{4 π / 3}$
$s_{Δ_{A B}}$
$s_{Δ_{B C}}$
$s_{Δ_{C A}}$

L'ensemble

{id, r_{2 π / 3}, r_{4 π / 3}, s_{Δ_{A B}}, s_{Δ_{B C}}, s_{Δ_{C A}}}

est un groupe. On peut faire quelques remarques sur le tableau une fois rempli : que remarquez-vous sur chaque ligne ou sur chaque colonne ?
Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets

A

B

C

	A	B	C
$id$
$r_{2 π / 3}$
$r_{4 π / 3}$
$s_{Δ_{A B}}$
$s_{Δ_{B C}}$
$s_{Δ_{C A}}$

Vérifier qu'on définit ainsi une application du groupe de symétrie du triangle dans le groupe des permutations des trois sommets

A

B

C

Exercice [Autres figures]

Faire le cas d'un triangle isocèle, d'un losange, d'un carré, d'un hexagone régulier ...

losange

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I-2-5 Groupe de symétrie : définition

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Définition

Soient

F

un ensemble de points dans le plan. L'ensemble des isométries conservant F est un groupe et est appelé groupe de symétrie de

F

ou groupe d'isométries. On le note ici

Is (F)

. Si ce groupe est fini, on appelle ordre le nombre de ses éléments.

Exercice

Dessiner une figure ayant la symétrie du rectangle, du triangle équilatéral (et qui n'en soit pas un), c'est-à-dire telle que son groupe de symétrie soit celui du rectangle ou du triangle équilatéral.

Exercice

Trouver le groupe de symétrie des lettres de l'alphabet et écrire son ordre dans le tableau (on ne tiendra pas compte des grosseurs de trait légèrement différentes ...).

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I-3 Rappels : Le plan complexe

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Index

Donnons quelques rappels sur le plan complexe et les isométries dans le plan complexe.

Un nombre complexe s'écrit $z = x + i y$ où $x$ et $y$ sont des réels : $x$ est la partie réelle de $z$ , $y$ est la partie imaginaire de $z$ .
Le conjugué $\bar{z}$ de $z = x + i y$ est $x - i y$ .
Le module $∣ z ∣$ de $z$ est $\sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
Tout nombre complexe de module 1 s'écrit $\cos θ + i \sin θ$ avec $θ \in ℝ$ unique modulo $2 π$ : c'est l'argument de $z$ (on peut par exemple prendre $θ$ entre 0 et $2 π$ ). On pose $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ .
Tout nombre complexe $x + i y$ non nul s'écrit de manière unique $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ et $θ$ l'argument de $z$ . On représente un point du plan par son affixe : $(x, y) \mapsto z = x + iy$

I-3-1 Quelques similitudes

I-3-2 Exercices

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

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I-3-1 Quelques similitudes

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Index

Soient

z_{A}

θ \in ℝ

b \in ℂ

λ \in ℝ^{*}

L'application $ℂ \to ℂ, z \mapsto z_{A} + e^{i θ} (z - z_{A})$ est une rotation de centre $z_{A}$ (ou $A$ ) et d'angle $θ$ :
$z' - z_{A} = e^{i θ} (z - z_{A})$
L'application $ℂ \to ℂ, z \mapsto z + b$ est une translation :
$z' = z + b$
L'application $ℂ \to ℂ, z \mapsto λ (z - z_{A}) + z_{A}$ est une homothétie de centre $z_{A}$ (ou $A$ ) et de rapport :
$z' - z_{A} = λ (z - z_{A})$

Représenter chacune de ces transformations.

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I-3-2 Exercices

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Exercice

Calculer le composé de deux transformations décrites précédemment. Donner leur nature. Trouver à partir de ces résultats des groupes (pour la loi de composition des transformations).

On dit qu'une transformation

f

conserve les angles si pour tous points

A

B

C

, les angles de droite

\hat{(A B, A C)}

\hat{(f (A) f (B), f (A) f (C))}

sont égaux.

Exercice

Soit l'application

ℂ \to ℂ, z \mapsto a z + b

avec

a

b

des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Discuter suivant

a

b

et déterminer sa nature géométrique.

Exercice

Soit l'application

ℂ \to ℂ, z \mapsto a \bar{z} + b

avec

a

b

des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Représenter le cas particulier

s : z \mapsto \bar{z}

. A quoi correspond la transformation

z \mapsto e^{i θ} \bar{z}

Une similitude conserve les rapports de distance : il existe une constante

k

telle que

∥ f (A) - f (B) ∥ = k ∥ A - B ∥ .

Exercice

En plaçant bien un triangle équilatéral dans le plan complexe (par exemple, son centre de gravité en

0

et un de ses sommets en

1

), expliciter les similitudes complexes qui le laissent invariant.

Exercice

Triangle équilatéral
Tir de rotation
Billard circulaire (1 rebond)
Billard circulaire (2 rebonds)
Billard elliptique
Triangles, rectangles et similitudes
Composition de similitudes
Figures et similitudes
Nature des transformations z -> az+b

Exercice

Composés de symétries centrales

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I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

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Pour trouver la nature géométrique d'une application du plan complexe de la forme

f : ℂ \to ℂ; z \mapsto a z + b

où

a

b

sont des complexes et pour trouver ses éléments caractéristiques :

Si $a = 1$ , $f (z) = z + b$ : il s'agit d'une translation de vecteur représenté par $b$ .
Si $a \neq 1$ , l'équation $z = az + b$ en $z$ a une solution $\frac{b}{1 - a}$ et la transformation $f$ a donc un point fixe $A$ d'affixe $z_{A} = \frac{b}{1 - a}$ . On peut alors écrire
$f (z) - z_{A} = a (z - z_{A}) .$
- Si $a$ est réel, $f$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $A$ .
- Si $a$ est un nombre complexe de module 1 et d'argument $θ$ modulo $2 π$ , $f$ est une rotation d'angle $θ$ et de centre $A$ .
- Si $a$ est un complexe de module $r$ et d'argument $θ$ modulo $2 π$ , $f$ est une similitude d'angle $θ$ , de centre $A$ et de rapport $r$ . Dans ce cas, $f$ est le composé d'une homothétie et d'une rotation.

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II Géométrie du plan

Géométrie du plan → II Géométrie du plan

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Index

Donnons d'abord quelques notions de base sur le plan vectoriel en s'appuyant sur le programme de terminale.

II-1 Le plan vectoriel

II-2 Le plan affine

Voici quelques théorèmes dans le plan affine. Faites vous-même un dessin (et même plusieurs) pour comprendre l'énoncé de chacun de ces théorèmes.

II-3 Le plan affine avancé

Et le plan est plus riche si on introduit une structure euclidienne, c'est-à-dire une distance, une norme, un produit scalaire ... (d'ailleurs, dans le plan complexe, cela existe aussi).

II-4 Le plan euclidien

Géométrie du plan → II Géométrie du plan

II-1 Le plan vectoriel

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel

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Index

Le plan vectoriel est

ℝ^{2}

. C'est l'ensemble des couples de nombres réels

(x, y)

. On appelle ses éléments des vecteurs. Par exemple, le vecteur nul est

\vec{0} = (0, 0)

. On note

\vec{i} = (1, 0)

\vec{j} = (0, 1)

. On peut additionner des vecteurs et multiplier un vecteur par un nombre réel.

II-1-1 Définitions et propriétés

II-1-2 Droites

II-1-3 Indépendance et colinéarité

II-1-4 Bases

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel

II-1-1 Définitions et propriétés

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-1 Définitions et propriétés

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Propriétés

L'addition dans le plan vectoriel est une loi de groupe commutatif : pour tous vecteurs

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

w

du plan,

(associativité) $(u + v) + w = u + (v + w)$ ;
(élément neutre) $u + 0 = u$ ;
(opposé) $u + (- u) = 0$ ;
(commutativité) $u + v = v + u$ .

La multiplication d'un vecteur par un réel est compatible avec l'addition : pour tous vecteurs

u

v

du plan et tous réels

a

b

$a \cdot (b \cdot u) = (a \cdot b) \cdot u$ ;
(distributivité) $(a + b) \cdot u = a \cdot u + b \cdot u$ ;
(distributivité) $a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v$ ;
(élément absorbant) $a \cdot \overset{⇀}{0} = 0 \cdot u = \overset{⇀}{0}$ ;
$1 \cdot u = u$

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II-1-2 Droites

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Définition

Une droite vectorielle est une partie

D

du plan formée des multiples

λ u

λ \in ℝ

d'un vecteur non nul

u

. On dit que

u

est une base de

D

. Tout autre vecteur non nul appartenant à

D

en est une base.

v = (a, b)

, alors

D = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ b x - a y = 0}

. On dit que

b x - a y = 0

est une équation de la droite

D

. Si

a \neq 0

, on peut mettre cette équation sous la forme

y - \frac{b}{a} x = 0

ou encore

y = \frac{b}{a} x

Le nombre

\frac{b}{a}

est la pente (coefficient directeur) de la droite. Le vecteur nul appartient à toutes les droites vectorielles.

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-2 Droites

II-1-3 Indépendance et colinéarité

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-3 Indépendance et colinéarité

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Deux vecteurs

u

v

sont colinéaires s'il existe deux réels lambda

tels que

(λ, μ) \neq (0, 0)

et tels que

λ u + μ v = 0

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, il faut et il suffit qu'ils appartiennent à la même droite.

Définition

Deux vecteurs

u

v

sont linéairement indépendants s'ils ne sont pas colinéaires.

Propriétés

Soient deux vecteurs

v_{1} = (a_{1}, b_{1})

v_{2} = (a_{2}, b_{2})

. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$v_{1}$ et $v_{2}$ sont linéairement indépendants ;
$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ ;
tout vecteur $v$ s'écrit de manière unique $v = x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2}$ avec $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $ℝ$ .

Trouver

x_{1}

x_{2}

revient à résoudre un système linéaire.

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-3 Indépendance et colinéarité

II-1-4 Bases

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-4 Bases

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Une base de

ℝ^{2}

est un couple

(e, f)

de vecteurs linéairement indépendants. Si

v

est un vecteur, les réels

a

b

tels que

v = a e + b f

sont appelés les coordonnées/composantes de

v

dans la base

(e, f)

Par exemple, les composantes de

v = (x, y)

dans la base

(i, j)

sont

x

y

.
Soient

(p, q)

(r, s)

les composantes de

i

j

dans la base

(e, f)

. Alors, les composantes du vecteur

u = (x, y)

dans la base

(e, f)

sont

(X, Y) = (px + ry, qx + sy)

, c'est-à-dire sous forme matricielle et en colonne :

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) = (\begin{matrix} p & r \\ q & s \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} px + ry \\ qx + sy \end{matrix})

Propriétés

Soient

(e, f)

une base du plan vectoriel,

u

v

deux vecteurs de composantes respectives

(X_{u}, Y_{u})

(X_{v}, Y_{v})

dans la base

(e, f)

Les vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $X_{u} Y_{v} - X_{v} Y_{u} = 0$ .
L'ensemble des vecteurs dont les composantes $(X, Y)$ dans la base $(e, f)$ vérifient $aX + bY = 0$ est une droite vectorielle.

Exercice

Changement de base

Exercice

Soit

m

un nombre réel. On considère les vecteurs

e = (1, m + 1)

f = (m, 6)

A quelle condition sur $m$ le couple $(e, f)$ est-il une base du plan vectoriel ?
Donner les coordonnées $(X, Y)$ du vecteur $u$ dans la base $(e, f)$ en fonction des coordonnées $(x, y)$ dans la base usuelle.

Exercice

Trouver l'intersection de 2 droites
Trouver l'intersection de 2 droites II
Trouver l'intersection de 2 droites II
Fonctions linéaires/affines et droites
Projections
Tir aux vecteurs

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-4 Bases

II-2 Le plan affine

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Le plan affine est toujours

ℝ^{2}

mais vu un peu différemment (on le note ici

P

). D'abord, on va appeler ses éléments des points. Un point du plan est donc encore un couple de réels. Le point

A = (x_{A}, y_{A})

a pour abscisse

x_{A}

et pour ordonnée

y_{B}

. On appelle bipoint un couple de points.

II-2-1 Translations

II-2-2 Repères du plan

II-2-3 Droites affines

II-2-4 Incidence

II-2-5 Barycentres de points

II-2-6 Polygones

II-2-7 Exercices

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine

II-2-1 Translations

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-1 Translations

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Soit

v = (a, b)

un vecteur. On appelle translation de vecteur

v

l'application de

P

dans

P

P = (x, y) \mapsto P + v = (a + x, b + y) .

On la note

t_{v}

Remarquons qu'on vient de définir la notation

P + v

où

P

est un point et

v

un vecteur.

Propriétés

$t_{v}$ est une bijection de $P$ dans $P$ ;
$t_{v} \circ t_{w} = t_{v + w}$ ;
$t_{v} \circ t_{- v} = t_{\overset{⇀}{0}} = id$ .

L'ensemble des translations du plan

P

muni de la composition des applications est un groupe commutatif.

Propriétés

Pour tout bipoint $AB$ , il existe un unique vecteur $v$ tel que $t_{v} (A) = B$ . On le note aussi $\vec{AB}$ . On a donc la relation
$B = A + \vec{AB} .$
{Relation de Chasles} Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ de $P$ , on a la relation
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Pour tout point $A$ du plan et tout vecteur $u$ , il existe un unique point $B$ tel que $\vec{AB} = u$ .

La troisième affirmation est la bijectivité de la translation

t_{v}

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-1 Translations

II-2-2 Repères du plan

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-2 Repères du plan

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Un repère (affine) du plan est un triplet

(A, e, f)

formé d'un point du plan affine

P

et de deux vecteurs

(e, f)

formant une base du plan vectoriel. Les coordonnées de

M

dans le repère

(A, e, f)

sont les composantes du vecteur

\vec{AM}

dans la base

(e, f)

Ainsi, tout point

M

P

s'écrit de manière unique

A + X e + Y f

(X, Y)

sont les coordonnées de M dans le repère affine

(A, e, f)

Exemple

Soit

A = (2, 1)

e = (1, 2)

f = (1, 1)

. Écrire les coordonnées du point

M (x, y)

dans le repère

(A, e, f)

Exercice

Changement de repère

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-2 Repères du plan

II-2-3 Droites affines

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-3 Droites affines

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Une droite affine

D

est une partie du plan affine telle que pour tout

A \in D

, l'ensemble des vecteurs

\vec{AM}

pour

M \in D

soit une droite vectorielle.

Ce qu'on peut dire d'autres manières :

$D = {A + λ u, λ \in ℝ}$ ;
$D$ est le translaté par le vecteur $\vec{OA}$ d'une droite vectorielle $D_{0}$ de base $u$ ; la droite $D_{0}$ est appelée direction de $D$ . La direction $D_{0}$ de $D$ est aussi l'ensemble des vecteurs $\vec{PQ}$ pour $P$ et $Q$ des points de $D$ . Un vecteur directeur de $D$ est une base de la direction $D_{0}$ de $D$ .

Définition

Trois points

A

B

C

du plan affine

P

sont alignés s'ils appartiennent à une même droite, c'est-à-dire si les vecteurs

\vec{AB}

\vec{AC}

sont colinéaires.

L'ensemble des points alignés avec deux points distincts du plan forme une droite. C'est la droite passant par ces deux points. Toute droite affine

D

est aussi l'ensemble des points

M = (x, y)

vérifiant une équation

a x + b y + c = 0

. Sa direction est d'équation

a x + b y = 0

Remarque

On a donc plusieurs manières de se donner une droite et de la représenter. Il est important de savoir passer d'une "représentation à l'autre" et de savoir utiliser la plus adéquate pour résoudre des problèmes. Ainsi, pour se donner une droite, on peut

se donner un point $A$ et un vecteur $v$ non nul ;
se donner deux points distincts $A$ et $B$ ;
écrire l'ensemble des points de la droite comme les points $M$ tels que $AM$ soit colinéaire à $v$ pour un point $A$ et un vecteur $v$ non nul :
${M \in ℝ^{2} tel qu'il existe t \in ℝ ∣ \vec{AM} = t \vec{v}} \begin{matrix} \end{matrix}$
écrire l'ensemble des points de la droite comme les points $M$ barycentres de deux points $A$ et $B$ distincts :
${M \in ℝ^{2} tel qu'il existe t \in ℝ ∣ \vec{OM} = (1 - t) \vec{OA} + t \vec{OB}} \begin{matrix} \end{matrix}$
écrire l'ensemble des coordonnées des points de la droite :
${(x, y) \in ℝ^{2} tel qu'il existe t \in ℝ ∣ {\begin{matrix} x & = & a + t u_{1} \\ y & = & b + t u_{2} \end{matrix}}$
donner une relation entre les coordonnées $(x, y)$ vérifiées par les coordonnées des points de la droite et uniquement par eux. Les vecteurs $v$ et $\vec{AB}$ sont des vecteurs directeurs. Le coefficient directeur (pente) de la droite affine est la pente de sa direction. C'est donc $\frac{b}{a}$ si $v = (a, b)$ avec $v$ non nul et si $v = (a, 0)$ .

Exercice

Donner plusieurs manières de représenter la droite passant par les deux points

(1, 2)

(3, - 1)

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-3 Droites affines

II-2-4 Incidence

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-4 Incidence

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Deux droites affines sont parallèles si elles ont même direction.

Propriétés

Pour que deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ soient parallèles, il faut et il suffit qu'il existe une translation $T$ telle que $T (D_{1}) = D_{2}$ .
Si $D$ est une droite affine et $P$ un point du plan, il existe une unique droite affine $D'$ parallèle à $D$ et passant par $P$ (c'est-à-dire telle que $P \in D'$ ) : $D'$ est l'image de la direction $D_{0}$ de $D$ par la translation de vecteur $\vec{OP}$ . Si $A$ est un point de $D$ , c'est aussi l'image de $D$ par la translation de vecteur $\vec{AP}$ .

Définition

Deux droites affines sont sécantes si elles se coupent en un unique point.

Propriétés

Deux droites parallèles

D

D'

sont soit disjointes (

D \cap D' = \emptyset

), soit confondues (

D = D'

Propriétés

Deux droites sont soit parallèles, soit sécantes (

D \cap D' = {A}

avec

A

un point du plan).

Corollaire

Deux droites

D

d'équation

a x + b y + c = 0

D'

d'équation

a' x + b' y + c' = 0

sont parallèles si

ab' - a' b = 0

. Elles sont sécantes si et seulement si

ab' - a' b \neq 0

Exercice

Parmi les points suivants, lesquels sont alignés ? $A = (1, 2)$ , $B = (\frac{29}{5}, \frac{31}{7})$ , $C = (2, \frac{5}{2})$ , $D = (- 1, - 2)$ , $E = (- \sqrt{12} + 1, - \sqrt{3} + 2)$
Déterminer l'intersection de $(AB)$ et de $(CD)$ .

Exercice

Parmi les droites suivantes, déterminer lesquelles sont parallèles, lesquelles sont concourantes et leurs points d'intersection :
$D_{1} : 3 x - 2 y + 1 = 0$ , $D_{2} : y = 4 x - 7$ , $D_{3} : {\begin{matrix} x & = & 4 t + 4 \\ y & = & 6 t + 3 \end{matrix}, t \in ℝ$ , $D_{4} : 5 x + y = 20$ , $D_{5} : 2 x + 7 - 41 = 0$
Donner l'équation générale des droites passant par $A = (3, 5)$ .
Déterminer l'équation de la parallèle à $D_{2}$ passant par $B = (- 1, 0)$ .

Exercice

Soit

un réel non nul.

Donner l'équation de la droite $D_{λ}$ passant par les points $A_{λ} = (1 / λ, 0)$ et $B_{λ} = (0, λ)$ .
Soit $M = (x, y)$ un point du plan. Donner tous les tels que $M$ appartient à $D_{λ}$ .
Décrire $\cup_{λ \in ℝ^{*}} D_{λ}$ .

Exercice

On considère les points

A = (0, 1)

B = (2, 2)

C = (1, 3)

Donner les coordonnées des points $D = (3, - 1)$ et $E = (1, 3)$ dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$ .
Donner une équation dans le repère usuel de la droite d'équation $X - 2 Y + 5 = 0$ dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$ .

Exercice

Reconnaître rapidement des droites parallèles ou perpendiculaires

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-4 Incidence

II-2-5 Barycentres de points

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-5 Barycentres de points

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Soient

n

un entier,

A_{1}

, ...,

A_{n}

n

points et

a_{1}

, ... ,

a_{n}

des réels tels que

a_{1} + . . . + a_{n} \neq 0

. Le barycentre des points pondérés

(A_{1}, a_{1})

, ...,

(A_{n}, a_{n})

est l'unique point

G

du plan tel que

a_{1} \vec{{GA}_{1}} + . . . + a_{n} \vec{{GA}_{n}} = 0 .

A

est un point du plan, il vérifie :

G = A + \frac{1}{a_{1} + . . . + a_{n}} (a_{1} \vec{{AA}_{1}} + . . . + a_{n} \vec{{AA}_{n}})

Les coordonnées du barycentre

G

s'expriment (avec des notations évidentes)

{\begin{matrix} x_{G} & = & \frac{a_{1} x_{1} + . . . + a_{n} x_{n}}{a_{1} + . . . + a_{n}} \\ y_{G} & = & \frac{a_{1} y_{1} + . . . + a_{n} y_{n}}{a_{1} + . . . + a_{n}} \end{matrix}

Le milieu du segment

[AB]

est l'unique point

I

tel que

\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AB}

. Les coordonnées de

A

B

I

vérifient

x_{I} = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}), y_{I} = \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}) .

Propriétés

A

B

sont deux points distincts, la droite

(AB)

est l'ensemble des barycentres de

A

B

Exercice

Décrire l'ensemble des points du segment

[AB]

Propriétés [Associativité du barycentre]

a_{1} + a_{2} \neq 0

et si

A'

est le barycentre de

(A_{1}, a_{1})

(A_{2}, a_{2})

, le barycentre de

(A_{1}, a_{1})

(A_{2}, a_{2})

(A_{3}, a_{3})

, ...,

(A_{n}, a_{n})

est égal au barycentre de

(A'_{1}, a_{1} + a_{2})

(A_{3}, a_{3})

, ...,

(A_{n}, a_{n})

s'ils existent.

Quand les poids

a_{1}

, ...,

a_{n}

sont tous égaux, on appelle le barycentre l'isobarycentre ou centre de gravité.
Exemple [ Barycentre de deux points ]

Exercice

Placer le barycentre de points

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-5 Barycentres de points

II-2-6 Polygones

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-6 Polygones

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
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IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Définition

Un triangle est un triplet

T = (A, B, C)

de points. Si les points

A

B

C

sont alignés ou confondus, on dit que

T

est dégénéré.

Supposons

T

non dégénéré. Les points

A

B

C

sont les sommets, les droites

(AB)

(BC)

(CD)

sont les côtés. Le côté

(BC)

est opposé à

A

. Soient

P

Q

R

les milieux respectifs des côtés opposés à

A

B

C

. Les droites

(AP)

(BQ)

(CR)

sont les médianes du triangle. Elles passent par le centre de gravité

G

T

Définition

Un parallélogramme est un quadruplet

(A, B, C, D)

de points du plan tel que

\vec{AB} = \vec{DC}

, ou ce qui revient au même

\vec{AC} = \vec{BD}

Pour qu'un quadruplet (quadrilatère) soit un parallèlogramme, il faut et il suffit que les segments

[AD]

[BC]

aient même milieu.

Définition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs (une fois normalisé pour que la somme des poids soit positive). Le segment

[AB]

est l'enveloppe convexe de

A

B

Définition

Une partie

C

du plan est convexe si pour tous points

A

B

C

, le segment

[AB]

est contenu dans

C

Propriétés

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est le plus petit convexe contenant ses points.

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-6 Polygones

II-2-7 Exercices

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-7 Exercices

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Exercice

Tracer les trois droites d'équation

2 x + y = 1

- 2 x + y = 1

y = - 3

. Caractériser chacune des régions déterminées par ces droites à l'aide de leurs équations.

Exercice

Soient

A

B

C

trois points du plan et

a

b

c

trois réels non nuls tels que les barycentres suivants existent :

G : (A, a), (B, b), (C, c),

G_{1} : (A, - a), (B, b), (C, c),

G_{2} : (A, a), (B, - b), (C, c),

G_{3} : (A, a), (B, b), (C, - c) .

Montrer que $({AG}_{1})$ , $({BG}_{2})$ , $({CG}_{3})$ sont concourantes en $G$ .
Montrer que $(G_{2} G_{3})$ , $(G_{3} G_{1})$ et $(G_{1} G_{2})$ passent respectivement par $A$ , $B$ et $C$ .

Solution

Montrons que $G$ est sur la droite $({AG}_{1})$ . Par associativité du barycentre, $G$ est le barycentre de $(A, 2 a)$ , $(A, - a)$ , $(B, b)$ , $(C, c)$ et donc de $(A, 2 a)$ , $(G_{1}, - a + b + c)$ . Donc $G$ est sur la droite $({AG}_{1}$ . De même pour les autres.
Soit $T$ le barycentre de $(B, - b)$ et $(C, c)$ . Alors, $G_{2}$ est le barycentre de $(A, a)$ et de $(T, - b + c)$ , $G_{3}$ est le barycentre de $(A, a)$ et de $(T, b - c)$ . Donc $A$ , $G_{2}$ et $G_{3}$ sont alignés.

Exercice

Tracer un triangle non dégénéré et les droites prolongeant les côtés du triangle. Caractériser chacune des sept régions obtenus en termes de barycentres des trois sommets du triangle. (On peut commencer par les régions déterminées par une droite.)

Exercice

Régions

Exercice

Barycentre de trois points
Barycentre et côtés d'un triangle
Barycentre : lequel ?

Exercice

Tir de gravité I
Tir de gravité II
Tir de gravité III
Coordonnées barycentriques
Zones barycentriques
Associativité du barycentre

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-7 Exercices

II-3 Le plan affine avancé

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

II-3-1 Théorème de Thalès

II-3-2 Théorème de Ceva

II-3-3 Théorème de Ménélaüs

II-3-4 Birapport

II-3-5 Théorème de Pappus

II-3-6 Théorème de Desargues

II-3-7 Exercice : Droite de Newton

II-3-8 Un autre exercice

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé

II-3-1 Théorème de Thalès

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-1 Théorème de Thalès

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Théorème [Thalès]

Soient

A

B

C

trois points alignés et

B'

C'

deux points alignés avec

A

tels que

\vec{AB}

\vec{AB'}

ne soient pas colinéaires. Alors :

(\forall λ \in ℝ) (\vec{AC} = λ \vec{AB} et \vec{AC'} = λ \vec{AB'} \Leftrightarrow \vec{CC'} = λ \vec{BB'})

Propriétés [Conséquence]

Soient

A

B

C

trois points distincts du plan non alignés. Soient

C'

B'

les milieux respectifs de

[AB]

et de

[AC]

. Alors, les droites

(BC)

(B' C')

sont parallèles.

Il y a de nombreuses autres formulations du théorème de Thalès, par exemple :

Propriétés

Soient

A

B

C

trois points alignés et

B'

C'

deux points alignés avec

A

tels que

A

B

B'

ne soient pas alignés. Alors, si

C

est le barycentre de

(A, a)

(B, b)

C'

est le barycentre de

(A', a)

(B', b)

si et seulement si les droites

BB'

CC'

sont parallèles.

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-1 Théorème de Thalès

II-3-2 Théorème de Ceva

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-2 Théorème de Ceva

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Théorème [Ceva]

Soit un triangle

(ABC)

A'

B'

C'

des points situés respectivement sur les côtés opposés à

A

B

C

. Les droites

(AA')

(BB')

(CC')

sont concourantes si et seulement si

\frac{\bar{BA'}}{\bar{A' C}} \times \frac{\bar{CB'}}{\bar{B' A}} \times \frac{\bar{AC'}}{\bar{C' B}} = 1 .

Démonstration

Exemple

Soient

A

B

deux points. Si

C

est barycentre de

(A, a)

et de

(B, b)

\frac{AC}{CB}

est égal à

\frac{b}{a}

. Cela fait un pont entre les barycentres et le théorème de Ceva.

Exercice

Barycentre et théorème de Ceva

Théorème [Médianes]

Les médianes d'un triangle sont concourantes.
Les médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-2 Théorème de Ceva

II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-3 Théorème de Ménélaüs

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Théorème [Ménélaüs]

Soit un triangle

(ABC)

A'

B'

C'

des points situés respectivement sur les droites

(BC)

(CA)

(AB)

. Les points

A'

B'

C'

sont alignés si et seulement si

\frac{\bar{BA'}}{\bar{A' C}} \times \frac{\bar{CB'}}{\bar{B' A}} \times \frac{\bar{AC'}}{\bar{C' B}} = - 1 .

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-3 Théorème de Ménélaüs

II-3-4 Birapport

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-4 Birapport

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Rappelons que si

A

B

sont deux points distincts, le rapport

\frac{\bar{CA}}{\bar{CB}}

détermine la position d'un point

C

de la droite

(AB)

par rapport à

A

B

Définition

Le birapport de quatre points alignés

A

B

C

D

est le nombre

[[A, B, C, D]]

égal au rapport de

\frac{\bar{CA}}{\bar{CB}}

et de

\frac{\bar{DA}}{\bar{DB}}

[[A, B, C, D]] = \frac{\bar{CA}}{\bar{CB}} / \frac{\bar{DA}}{\bar{DB}}

= \frac{\bar{CA}}{\bar{CB}} \times \frac{\bar{DB}}{\bar{DA}}

Théorème

Soit

r

le birapport des quatre points alignés

A

B

C

D

O

un point distinct et non aligné avec les quatre points. Alors

∣ r ∣ = \frac{S (OCA)}{S (OCB)} / \frac{S (ODA)}{S (ODB)}

r = \frac{\sin \hat{COA}}{\sin \hat{COB}} / \frac{\sin \hat{DOA}}{\sin \hat{DOB}}

birapport

Démonstration

On note

la droite sur laquelle se trouve les points

A

B

C

D

. Soit

H

le projeté orthognal de

O

sur la droite Delta

.
L'aire du triangle

OCA

est égale à

\frac{1}{2} CA \times OH

.
L'aire du triangle

OCB

est égale à

\frac{1}{2} CB \times OH

.
L'aire du triangle

ODA

est égale à

\frac{1}{2} DA \times OH

.
L'aire du triangle

ODB

est égale à

\frac{1}{2} DB \times OH

.
Ce qui montre facilement la première formule.
Pour la deuxième formule. on calcule l'aire des triangles précédents en choisissant une autre base :

S (OCA) = \frac{1}{2} OC \sin (\hat{COA})

etc, ce qui permet de démontrer la formule au signe près.
Regardons maintenant le signe.
Le point

O

est d'un côté de la droite ! On choisit une orientation pour tourner autour du point

O

(le résultat ne dépend pas du choix car il y a 4 termes). Cela donne une orientation de la droite Delta

pour laquelle le sinus de

\hat{MOM'}

est positif si et seulement si

\bar{MM'}

est positif pour deux points

M

M'

de la droite Delta

birapport

Corollaire

Le nombre

[[A, B, C, D]]

ne dépend que des droites

OA

OB

OC

OD

et non de la sécante :

[[A, B, C, D]] = [[A', B', C', D']] .

On le note aussi

[[OA, OB, OC, OD]] .

C'est le birapport des quatre droites.
Soit

O'

un autre point, on a

[[OA, OB, OC, OD]] = [[O' A, O' B, O' C, O' D]] .

birapport

Exercice

Sur le birapport de quatre points
Conjugué harmonique

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-4 Birapport

II-3-5 Théorème de Pappus

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-5 Théorème de Pappus

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie
Index

Théorème [Pappus]

Soient

A

B

C

trois points alignés situés sur une droite

D

, Soient

A'

B'

C'

trois autres points alignés situés sur une autre droite. Les trois points

U

V

W

définis respectivement comme l'intersection de