Gradient

Objectifs

Mettre l'accent sur différentes manières de représenter graphiquement les fonctions de deux variables
Considérer les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables du point de vue plus géométrique du gradient.
Insister sur l'aspect "approximation linéaire" de la différentielle.

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Exemples concrets de fonctions de plusieurs variables
Dérivées partielles
- Exercices de calcul de dérivées partielles
Gradient
Approximation
Courbes de niveau

Exemples concrets de fonctions de plusieurs variables

Dans la vie, ce sont les fonctions d'une variable qui sont rares et les fonctions de plusieurs variables fréquentes ! Pour se faciliter la vie, celui qui modélise prétend que certaines sont des paramètres et d'autres des variables. Ce qui "signifie" qu'il va faire comme si certaines des variables étaient constantes.
Donnons quelques exemples :

Exemples :

la température, la pression comme fonction de la position sur une carte : fonction de deux variables $x$ et $y$
l'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables $x$ et $y$
la température, la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) : fonction de trois variables $x$ , $y$ et $z$
le volume d'une boîte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables $H$ et $L$ et $l$ .
votre moyenne sur WIMS en fonction du temps et de la feuille d'exercice : fonction de deux variables $t$ et $n$ (mais ici heureusement la variable $n$ est une variable dite discrète (un entier) et pas continue (dans )

On parle en physique de champ scalaire : scalaire vient du fait que l'image est contenue dans les scalaires

, champ vient de ce que le domaine de définition est dans

ℝ^{n}

Exercices : Champ scalaire

Dérivées partielles

Exercices de calcul de dérivées partielles

Exercices de calcul de dérivées partielles

On notera les dérivées partielles d'une fonction d'une des manières suivantes : Si

f

est une fonction de deux variables (x,y), la dérivée partielle de

f

par rapport à

x

est notée indiféremment

\frac{\partial f}{\partial x} = D_{1} (f)

De même,

\frac{\partial f}{\partial y} = D_{2} (f)

Ensuite :

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = D_{1, 1} (f)

\frac{\partial^{2} f}{\partial x y} = D_{1, 2} (f)

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = D_{2, 2} (f)

Avant de commencer, il faut savoir calculer des dérivées partielles, nous proposons donc d'abord ici des exercices de technique.

Exercices :

Calcul de dérivées partielles
Calcul de dérivées partielles secondes
Dérivées partielles de composés de fonctions
Dérivées partielles secondes de composés de fonctions

Définition du gradient

Soit

f : U \subset ℝ^{2} \to ℝ

une fonction de 2 variables. On lui associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient et noté grad

f

f

(x, y) \mapsto \nabla f (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x} (x, y), \frac{\partial f}{\partial y} (x, y))

En posant

M = (x, y)

grad

f (M) = (\frac{\partial f}{\partial x} (M), \frac{\partial f}{\partial y} (M))

Exercice

Autres notations :

en utilisant la base canonique ( e₁, e₂ )
f = $\frac{\partial f}{\partial x} e_{1} + \frac{\partial f}{\partial y} e_{2}$
En physique, on utilise la notation suivante : $u_{x} = e_{1}$ , $u_{y} = e_{2}$ , $u_{z} = e_{3}$ ce qui donne les formules suivantes
$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} u_{x} + \frac{\partial}{\partial y} u_{y} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}$ dans $ℝ^{3}$
$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} u_{x} + \frac{\partial}{\partial y} u_{y}$ dans $ℝ^{2}$
ou en mettant les scalaires après les vecteurs contrairement à nos habitudes
$\nabla = u_{x} \frac{\partial}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial}{\partial y} + u_{z} \frac{\partial}{\partial z}$ dans $ℝ^{3}$
$\nabla = u_{x} \frac{\partial}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial}{\partial y}$ dans $ℝ^{2}$ .

Dérivée directionnelle

Soit

u

un vecteur de

ℝ^{n}

M_{0}

un point de

ℝ^{n}

: on a alors

\frac{d}{dt}

f (M_{0} + tu)_{∣ t = 0} = (grad f) (M_{0}) \cdot u

Ce qui donne une interprétation de grad

f (M_{0}) \cdot u

Soit

u

un vecteur unitaire de

ℝ^{n}

. On appelle dérivée directionnelle de

f

dans la direction

u

au point

M_{0}

(ou encore la dérivée partielle de

f

dans la direction

u

au point

M_{0}

) le nombre

f_{u} (M_{0}) = (grad f) (M_{0}) \cdot u

Si la direction est donnée par un vecteur qui n'est pas unitaire, il faut le rendre unitaire en le divisant par sa norme :

f_{u} (M_{0}) = (grad f) (M_{0}) \cdot \frac{u}{∥ u ∥}

Propriété : La dérivée directionnelle est de norme maximale dans la direction du gradient et la direction dans laquelle la fonction

f

croît le plus vite est la direction du gradient.

Démonstration

u

v

sont deux vecteurs d'angle

s

, on a l'égalité

∣ u \cdot v ∣ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ \cos (s) ∣

Ainsi,

∣ u \cdot v ∣ \leq ∥ u ∥ ∥ v ∥

et l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs

u

v

sont colinéaires. En particulier, si

u

est un vecteur unitaire,

∥ f_{u} (M_{0}) ∥ \leq ∥ grad (f) (M_{0}) ∥

∥ f_{u} (M_{0}) ∥

est égal à

∥ grad (f) (M_{0}) ∥

(et donc maximal) si

u

est colinéaire au gradient de

f

M_{0}

Exercices

Exercice : Dérivées directionnelles

Exercice : Gradient et croissance de la fonction

Approximation

Approximation linéaire
Differentiabilité
Estimation d'erreurs
Quelques exemples tirés de la physique
Approximation numérique
Gravitation et approximation
Exercice : Approximation linéaire

Approximation linéaire

Définition : Soit

f

une fonction de deux variables

(x, y)

définie au voisinage d'un point

M_{0} = (x_{0}, y_{0})

. On dit que la fonction affine

(x, y) \mapsto a + b x + c y

est une approximation linéaire ou plus exactement affine de

f

au point

M_{0} = (x_{0}, y_{0})

si l'on peut écrire

f (x, y) - (a + b x + c y) = (x - x_{0}) ε_{1} (x, y) + (y - y_{0}) ε_{2} (x, y)

avec des fonctions

ε_{1} (x, y)

ε_{2} (x, y)

tendant vers 0 lorsque

(x, y) \to (x_{0}, y_{0})

De manière équivalente, on peut aussi dire que la limite de

\frac{f (x, y) - (a + b x + c y)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

tend vers 0 lorsque

(x, y) \to (x_{0}, y_{0})

.
On dit que l'on a linéarisé

f

au voisinage de

M_{0}

: pour certains problèmes, on "peut" remplacer

f

par son approximation linéaire.
Lorsqu'on regarde la surface

S

d'équation

z = f (x, y)

, si

a + b x + c y

est l'approximation affine de

f

M_{0}

, l'équation

z = a + b x + c y

définit un plan dans

ℝ^{3}

qui est le plan tangent à la surface

S

M_{0}

. Cela sera revu dans le chapitre sur les surfaces.

Exercice Trouver l'approximation linéaire d'une fonction

Differentiabilité

Définition : Soit

f

une fonction de 2 variables

(x, y)

définie au voisinage d'un point

M_{0} = (x_{0}, y_{0})

. On dit que

f

est différentiable si

f

admet une approximation linéaire.

Théorème : Si

f

est une fonction de classe

On dit qu'une fonction définie sur un ouvert de

ℝ^{2}

est de classe

C^{1}

si elle est continue et admet des dérivées partielles premières continues.

C^{1}

dans un voisinage de

M_{0}

f

est différentiable et son approximation linéaire est donnée par

f (M_{0}) + D_{1} (f) (M_{0}) (x - x_{0}) + D_{2} (f) (M_{0}) (y - y_{0})

Autrement dit :

f (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

+ \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}} ε (x, y)

où

est une fonction de

(x, y)

définie au voisinage de

(x_{0}, y_{0})

telle que

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} ε (x, y) = 0

f (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

+ (x - x_{0}) ε_{1} (x, y) + (y - y_{0}) ε_{1} (x, y)

où

ε_{1}

ε_{2}

sont des fonctions de

(x, y)

définies au voisinage de

(x_{0}, y_{0})

telle que

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} ε_{1} (x, y) = 0

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} ε_{2} (x, y) = 0

Avec des notations différentes que l'on utilisera par la suite,

f (x, y) = D_{1} (f) (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + D_{2} (f) (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

+ \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}} ε (x, y)

où

est une fonction de

(x, y)

définie au voisinage de

(x_{0}, y_{0})

telle que

\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} ε (x, y) = 0

f (M) = grad (f) (M_{0}) \cdot \overset{⇀}{M_{0} M} + ∥ M_{0} M ∥ ε (M)

où

est une fonction de

M

définie au voisinage de

M_{0}

telle que

\lim_{M \to M_{0}} ε (M) = 0

Estimation d'erreurs

On rencontre couramment en physique le problème suivant : On a une quantité

A

, fonction connue des quantités

a, b

... Ayant fait des mesures des quantités

a, b,

avec une certaine incertitude, on se demande avec quelle incertitude est connue

A

. Mathématiquement, on dispose des objets suivants

Une fonction $f = A$
Un point $M_{0}$ : $M_{0} = (x_{0}, y_{0})$ , c'est le point qu'on mesure
Un rectangle $R$ : par exemple $∣ x - x_{0} ∣ \leq r_{1}, ∣ y - y_{0} ∣ \leq r_{2}$ les nombres $r_{1}$ et $r_{2}$ représentent les erreurs maximales de mesure.
Un point $M_{1}$ : un point $(x_{1}, y_{1})$ du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer, on ne le connaît donc pas très précisément

On calcule

L'approximation numérique au point $M_{0}$ : $f (x_{0}, y_{0})$
Les dérivées partielles de $f$ : $D_{1} (f) (x, y)$ , $D_{2} (f) (x, y)$ sur le rectangle $R$ , ou encore ce qui revient au même la différentielle $df = D_{1} (f) (x, y) dx + D_{2} (f) (x, y) dy$ de $f$ .
La majoration de l'erreur : Elle est obtenue en apppliquant le théorème suivant :
Soit $f$ une fonction $C^{1}$ définie sur un rectangle $R$ de $ℝ^{2}$ centré en $M_{0}$ , défini par $∣ x - x_{0} ∣ < r_{1}$ , $∣ y - y_{0} ∣ < r_{2}$ . Alors, si $M_{1}$ est un point de $R$ , on a la majoration suivante :
$∣ f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{0}, y_{0}) ∣$ $\leq \sup_{(x, y) \in R} ∣ D_{1} (f) (x, y) (x_{1} - x_{0}) + D_{2} (f) (x, y) (y_{1} - y_{0})$ $\leq A r_{1} + B r_{2}$
avec $A$ un majorant de $∣ D_{1} (f) (x, y) ∣$ sur $R$ et $B$ un majo