Extremums en plusieurs variables

Extremums en plusieurs variables


Vous vous promenez sur un chemin de montagne.
  • Vous êtes très sportif et vous désirez aller le plus haut possible dans la région dont vous avez la carte.
  • Vous êtes un peu moins sportif, vous vous contentez de suivre le chemin indiqué. A la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point le plus haut ou le plus bas où vous êtes passé.

L'altitude est une fonction f de deux variables, la position (x,y) sur la carte.
  • Dans le premier cas, vous cherchez à trouver le maximum de la fonction f.
  • Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par une équation g(x,y)=0. La question est donc de trouver les points M 0 vérifiant g(M 0) tels que f soit extrémale en M 0 parmi les points vérifiant g(M)=0.

Voici les deux problèmes que nous allons étudier dans ce qui suit. Cela n'est pas un cours complet, mais donne quelques idées reliées à des exercices à faire.

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

IV Tous les exercices WIMS utilisés

I Problème d'extrema sans contraintes

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

I-2 Topologie

I-3 Définitions

I-4 Existence

I-5 Condition nécessaire et points critiques

I-6 Étude locale d'un point critique

I-7 Représentation graphique d'un extremum

I-8 Méthode

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle
Dans le cas d'une fonction d'une variable sur un segment, que fait-on pour trouver les maximums d'une fonction ?
Voici un petit échantillon de fonctions pour lesquelles les extrema sont obtenus de manière différente :

Sur un segment [ a,b],
  • On sait que si la fonction est continue, elle admet un extremum. Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné I = [ a, b ] est bornée. Elle admet un maximum et un minimum atteint en un point de I.
    La question est ensuite de savoir le trouver.
  • On cherche les points où la dérivée de la fonction existe et est nulle.
    Aide
    Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans ]a,b[, il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule.

    On calcule sa valeur en ces points.
  • On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.
  • Et on n'oublie pas de regarder aux points où la fonction f n'est pas dérivable ou pas continue.

Sur un segment ]a,b[,
  • On ne sait pas si la fonction admet un extremum ou est bornée.
  • Si la fonction est dérivable, si l'extremum existe et est atteint en c, la dérivée de f s'annule en c.

I-2 Topologie

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-2 Topologie
Soit D un sous-ensemble de ℝ n.

Définition

On appelle intérieur de D l'ensemble des points A de D tels qu'il existe une boule centrée en A et de rayon strictement positif contenue dans D.

.

Définition

On appelle bord de D l'ensemble des points A de ℝ 2 tels que toute boule centrée en A et de rayon strictement positif rencontre à la fois D et son complémentaire.

Le bord de D est aussi le bord de son complémentaire.

.

Définition

On dit que D est ouvert s'il est égal à son intérieur.

Définition

On dit que D est fermé s'il contient son bord, autrement dit que son complémentaire est ouvert.

I-3 Définitions

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-3 Définitions
Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de ℝ n dans ℝ et A un point de D.

Définition

On dit que f admet un maximum en A si
f(M)≤f(A)
pour tout point M∈D.

Définition

On dit que f admet un minimum en A si
f(A)≤f(M)
pour tout point M∈D.

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de ℝ n dans ℝ et A un point de D qui est à l'intérieur de D.

Définition

On dit que f admet un maximum (local) en A si il existe un réel positif r>0 tel que
f(M)≤f(A)
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

Définition

On dit que f admet un minimum (local) en A si il existe un réel positif r>0 tel que
f(A)≤f(M)
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

I-4 Existence

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-4 Existence

Théorème

Soit f une fonction continue sur un ensemble fermé borné D de ℝ 2. Alors f admet un maximum et un minimum absolu dans D, c'est-à-dire qu'il existe M 0 et M 1 dans D tel que
f(M 0)≤f(M)≤f(M 1)
pour tout point M de D.

En particulier, une telle fonction est bornée sur D.
Le théorème précédent assure l'existence d'extrema sous certaines conditions. Il ne reste plus qu'à chercher comment les trouver.

I-5 Condition nécessaire et points critiques

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-5 Condition nécessaire et points critiques

Théorème

Si A est intérieur à D, si f admet un extremum local en A, alors le gradient de f en A est nul : on dit que A est un point critique de f.

La condition nécessaire qui vient d'être donnée ne concerne que les points de D qui sont à l'intérieur de D.
Démonstration
Supposons par exemple que A est un maximum local. Alors pour H un vecteur de ℝ n et t dans un intervalle I centré en 0 suffisamment petit pour que les points A+tH appartiennent encore à D ( I dépend de H et son existence vient de ce que A est dans l'intérieur de D), la fonction
F:t↦f(A+tH)
admet un maximum local en A. Donc, F′(0)=0.
Or F′(0)=gradf(A)H˙. Donc pour tout vecteur H, gradf(A)=0.

.


Exercice

Points critiques

Exercice

Points critiques

I-6 Étude locale d'un point critique

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-6 Étude locale d'un point critique
Pour déterminer si un point critique est un extremum, on doit faire une étude plus précise de la fonction :
Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle, l'outil de démonstration est la formule de Taylor Aide
Soit f une fonction C 1 d'un intervalle I dans ℝ. Si f a un extremum en x 0, x 0 est un point critique, c'est-à-dire que f′(x 0)=0. Réciproquement,
  • si f″(x 0)>0, f admet un minimum en x 0 ;
  • si f″(x 0)<0, f admet un maximum en x 0.

C'est la même chose ici :

Théorème

Soit M 0 un point critique de f. Considérons le trinôme
Q M 0(X)=∂ 2f∂x 2(M 0)X 2+2∂ 2f∂x∂y(M 0)X+∂ 2f∂y 2(M 0))
  1. si Q M 0(X) est strictement positif pour tout X, f a un minimum local en M 0 ;
  2. si Q M 0(X) est strictement négatif pour tout X, f a un maximum local en M 0 ;
  3. si Q M 0(X) a deux racines réelles distinctes, on dit que f a un