Algèbre linéaire : applications linéaires

Objectifs

Guide

Introduction
Définitions
Noyau et image
Matrices
Prolongement par linéarité
Le théorème du rang
- Théorème du rang
- Exemple d'application du théorème du rang
Changement de bases

Définitions

Définition d'une application linéaire
Propriétés
Exemples
Identification

Définition d'une application linéaire

Définition. Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application

f

est une application linéaire si :

pour tous $u$ et $v$ dans $E$ , $f (u + v) = f (u) + f (v)$ ;
pour tous $u$ dans $E$ et dans K, : $f (λ u) = λ f (u)$ .

Cas particuliers. Soit

f

une application linéaire.

Si $F$ est le corps $K$ , on dit que $f$ est une forme linéaire sur $E$ .
Si $E = F$ , on dit que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
Si $f$ est bijective, on dit que $f$ est un isomorphisme de $E$ dans (ou sur) $F$ .
Si $f$ est bijective et $E = F$ , on dit que $f$ est un automorphisme de $E$ .

On note

L (E, F)

l'ensemble de toutes les applications linéaires de

E

dans

F

. Si

E = F

, on note

L (E, F) = L (E)

Propriétés

Proposition Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

et f une application linéaire. Alors :

$f (0) = 0$ et pour tout $u$ $E$ , $f (- u) = - f (u)$ .
Pour tous $λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{n}$ dans $K$ et $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}$ dans $E$ , on a :
$f (λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{n} u_{n}) = λ_{1} f (u_{1}) + λ_{2} f (u_{2}) + \dots + λ_{n} f (u_{n})$ .
Si $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors $f (G)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Proposition(définition équivalente d'application linéaire) Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

. Une application

f : E \to F

est une application linéaire si et seulement si

pour tous $u$ et $v$ dans $E$ et lambda $K$ , $f (λ u + v) = λ f (u) + f (v)$ .

Exercice : Image d'un vecteur par une application linéaire

Exemples

Pour tout $K$ -ev $E$ , les applications ${id}_{E}$ et $0_{E}$ de $E$ dans $E$ définies pour $u$ $E$ par :
${id}_{E} (u) = u$ et $0_{E} (u) = 0$
sont des applications linéaires de $E$ dans $E$ , donc des endomorphismes de $E$ . On appelle ${id}_{E}$ l'application identique ou identité de $E$ , ${id}_{E}$ est un automorphisme de $E$ . On appelle $0_{E}$ l'application nulle de $E$ (malgré la notation, ne pas confondre avec l'élément neutre de $E$ ), $0_{E}$ n'est pas un automorphisme de $E$ .
L'application $f : ℝ^{3} \to ℝ$ , $f ((x, y, z)) = 4 x + 3 y + 4 z$ , est une forme linéaire sur $ℝ^{3}$ .
L'application $f : ℂ^{2} \to ℂ^{2}$ , $f ((z_{1}, z_{2})) = (z_{2}, 0)$ est un endomorphisme de $ℂ^{2}$ .
L'application $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ , $f ((x, y)) = (y, x)$ , est un automorphisme de $ℝ^{2}$ .
Soit $A$ $M_{p, n} (K)$ . L'application $f : M_{n, 1}$ $M_{p, 1}$ , : $X \mapsto AX$ , est une application linéaire.
L'application $f : ℝ \to D$ , où $D = Vect ((- 1, 5))$ (droite vectorielle de $ℝ^{2}$ engendrée par le vecteur $(- 1, 5)$ ), définie pour par $f (λ) =$ $(- 1, 5)$ est un isomorphisme du -ev de dimension un sur le sev $D$ de dimension un du -ev $ℝ^{2}$ .

Identification

Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels. Ainsi, on ne peut pas dire que la droite

D

engendré par le vecteur

(1, 1)

(géométriquement, la première bissectrice du plan

ℝ^{2}

) "est"

D

n'est pas un ensemble de nombres, mais un ensemble de couples. Par contre, "

D

est isomorphe à

" est le langage qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de

et de

D

, ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".
C'est bien une identification, pas une égalité : on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur

(3, 3)

et l'isomorphisme de

dans

D

(c'est-à-dire l'identification de

avec

D

) aurait alors été l'isomorphisme

$\begin{matrix} ℝ & \to & D \\ λ & \mapsto & (3 λ, 3 λ) \end{matrix}$

et donc un autre isomorphisme.

Noyau et image

Noyau et image
Injectivité, surjectivité
Bases et propriétés d'une application linéaire
Exemple
Exercices

Noyau et image

Proposition et définition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire.

L'ensemble $Ker f$ = ${u \in E, f (u) = 0}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , appelé le noyau de $f$ .
L'ensemble $Im f = f (E) = {f (u), u \in E}$ est un sous-espace vectoriel de $F$ , appelé l'image de $f$ .

Exercice : Image réciproque par une application linéaire

Injectivité, surjectivité

Proposition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire.

$f$ est injective si et seulement si $Ker f$ = ${0}$ .
$f$ est surjective si et seulement si $Im f = F$ .
$f$ est un isomorphisme si et seulement si $Ker f = {0}$ et $Im f = F$ .

Proposition et définition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire. On suppose que

E

est de dimension finie

n \in ℕ^{*}

et que

(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})

est une base de

E

. Alors

(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))

est une suite génératrice de

Im f

. Par conséquent le sous-espace

Im f

est de dimension finie. On appelle rang de

f

, et on note

rang (f)

, la dimension de

Im f

Bases et propriétés d'une application linéaire

Lorsque l'espace vectoriel de départ

E

d'une application linéaire

f

est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de

f

d'après l'action de

f

sur les vecteurs d'une base de

E

, comme le précise la proposition suivante.

Proposition : Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

f

une application linéaire. Supposons que

E

est de dimension finie

n

non nulle et que

(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})

est une base de

E

$f$ est injective si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une suite libre de $F$ .
$f$ est surjective si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ engendre $F$ .
$f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une base de $F$ .

Exemple

Exemple : Soient

a

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

l'application linéaire définie pour tout

(x, y, z) \in ℝ^{3}

par

f ((x, y, z)) = (2 x + y - z, y - z, a z)

. Soient

b

P

le plan vectoriel de

ℝ^{3}

d'équation

x - 2 y + b z = 0

. On veut déterminer, suivant les valeurs de

a

b

, le sous-espace vectoriel

f (P)

ℝ^{3}

. Déterminons une base de

P

. Les vecteurs

u = (2, 1, 0)

v = (- b, 0, 1)

sont deux vecteurs non colinéaires de

P

, donc

(u, v)

est une base de

P

. D'après la proposition,

L'image d'une base par une application linéaire est une suite génératrice de l'image de l'application linéaire.

(f (u), f (v))

est une suite génératrice de

f (P)

. Il y a plusieurs cas :

soit $a$ est non nul
L'application linéaire $f$ transforme une base de $ℝ^{3}$ en une base de $ℝ^{3}$ (car la matrice dont les colonnes sont les vecteurs $f (e_{1})$ , $f (e_{2})$ et $f (e_{3})$ est une matrice triangulaire, dont les coefficients diagonaux sont non nuls), d'après la proposition,
Si $(a_{1}, . . ., a_{n})$ est une base, $f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f (a_{1}), f (a_{2}), . . ., f (a_{n}))$ est une base de $F$ .
$f$ est un automorphisme de $ℝ^{3}$ et la restriction de $f$ à $P$ est un isomorphisme de $P$ sur $f (P)$ : alors $(f (u), f (v))$ est une base de $f (P)$ et $f (P)$ est un plan vectoriel de $ℝ^{3}$ , pour tout $b$ .
soit $a$ est nul
L'application linéaire $f$ n'est plus un automorphisme de $ℝ^{3}$ , mais on ne sait pas a priori si la restriction de $f$ à $P$ est un isomorphisme de $P$ sur $f (P)$ . Calculons $f (u) = (5, 1, 0)$ et $f (v) = (- 2 b - 1, - 1, 0)$ ;
- si $b$ n'est pas égal à 2,
  $f (u)$ et $f (v)$ ne sont pas colinéaires, donc $(f (u), f (v)) </$