Fractions rationnelles

Guide

Définition d'un élément simple
Théorème
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
Calcul de la partie entière
- Division euclidienne
Calcul de la partie polaire
- Le degré de Q est 2 et le degré de P est strictement inférieur à 2
- Cas où le dénominateur est de degré 3
Exercices : Exercices de calcul : (de plus en plus de calculs !)
- Pôles réels simples
- Pôles réels simples
- Pôles réels simples et partie entière
- Pôles réels simples et partie entière
- Pôles réels et complexes
- Partie entière, pôles réels et complexes
Reconnaître si une expression peut être le développement en éléments simples d'une fraction rationnelle :
- Reconnaître
- Reconnaître
- Reconnaître
Algorithme général

Définition d'un élément simple

On appelle fraction rationnelle (sur

) toute fonction

f

définie par une relation de la forme

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

où

P

Q

sont des polynômes à coefficients réels.

Par exemple,

ou encore

On note

ℝ (X)

l'ensemble des fractions rationnelles sur

On appelle élément simple de

ℝ (X)

une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :

type "racine réelle" : $\frac{a}{{(x - u)}^{k}}$ avec $a$ et $u$ des nombres réels et $k$ un entier.
Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme $x - u$ où $u$ est un réel.
type "racines complexes conjuguées" : $\frac{a x + b}{{(x^{2} + p x + q)}^{k}}$ où $a$ , $b$ sont des réels, où $p$ , $q$ sont des réels vérifiant $p^{2} - 4 q < 0$ et où $k$ est un entier naturel non nul. Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.

Théorème

Théorème : Toute fraction rationnelle sur

s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.

Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.

Calcul de la partie entière
Calcul de la partie polaire

Des techniques ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle

\frac{P}{Q}

, c'est-à-dire les racines du polynôme

Q

.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Soit

\frac{P (x)}{Q (x)}

une fraction rationnelle avec

$Q (x) = \prod_{i = 1}^{r} (x - u_{i})^{n_{i}} \prod_{j = 1}^{s} (x^{2} + p_{j} x + q_{j})^{m_{j}}$

avec les u_i des réels, les p_j et les q_j des réels tels que

p_{j}^{2} - 4 q_{j} < 0

et les n_i et les m_j des entiers strictement positifs.

Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :

$\frac{P (x)}{Q (x)} = E (x) + \sum_{i = 1}^{r} \sum_{l = 1}^{n_{i}} \frac{A_{i, l}}{(x - u_{i})^{l}} + \sum_{j = 1}^{s} \sum_{k = 1}^{m_{j}} \frac{B_{j, k} + C_{j, k} x}{(x^{2} + p_{j} x + q_{j})^{k}}$

avec

E un polynôme nul ou de degré égal à deg(P)-deg(Q),
les A_i,l, les B_j,k et les C_j,k des réels

De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas), les A_{i,n_i} sont tous non nuls et les polynômes B_{j,m_j}+C_{j,m_j}x sont tous non nuls (c'est-à-dire que soit B_{j,m_j}, soit C_{j,m_j} est non nul)

Calcul de la partie entière

Proposition : La partie entière

E (x)

de la fraction rationnelle

\frac{P (x)}{Q (x)}

est le quotient de

P

par

Q

dans la division euclidienne de

P

par

Q

Ainsi :

$P (x) = E (x) Q (x) + R (x)$

avec

\deg (R) < \deg (Q)

) et